Laboratoire du hasard

Une stratégie gagnante en moyenne peut-elle perdre de l'argent ?

Niveau: Avancé
Durée: 10 min

Mise par opération

Probabilité de gain Gain / perte Mise Frais Opérations Seuil de ruine

Graine

Lancer

Capital de départ : 10 000 € virtuels.

Aucune simulation

Capital virtuel · simulation

Évolution du capital (échelle logarithmique)

Capital final (en rouge : perte)

Pire baisse depuis un sommet (drawdown max.)

Calcul exact

Simulation

État: Lancez des trajectoires.

Défis

01
Trouvez une stratégie à espérance positive qui termine en perte dans plus de la moitié des cas (au moins 1 000 trajectoires).
À faire
02
Doublez votre risque : que deviennent la médiane et la probabilité de ruine ?
03
Deux stratégies de même espérance par opération (+0,1 unité de risque) peuvent avoir des risques très différents.

Sous le capot

Le modèle

Un modèle volontairement simple. Il sert à comprendre un mécanisme, pas à prévoir l'économie réelle.

Une suite de n opérations indépendantes et identiquement distribuées. Chacune gagne avec la probabilité p et perd sinon. Montant risqué R : une fraction f du capital courant, ou un montant fixe (plafonné au capital).

Gain : + b·R − φ·R Perte : − R − φ·R (φ = frais en fraction du montant risqué) Espérance par opération (unités de risque) e = p·b − (1 − p) − φ Mode proportionnel E[Cₙ] = C₀·(1 + f·e)ⁿ Croissance logarithmique par opération g = p·ln(1 + f(b − φ)) + (1 − p)·ln(1 − f(1 + φ)) Avec K gains sur n (K ~ binomiale(n, p)) Cₙ = C₀·(1 + f(b − φ))^K·(1 − f(1 + φ))^(n − K) Mode fixe E[Cₙ] = C₀ + n·R·e (tant que la ruine est impossible) Fraction de Kelly (sans frais) f* = p − (1 − p)/b

Ce qu'il faut retenir

L'espérance arithmétique (la moyenne sur toutes les trajectoires) peut être positive alors que la trajectoire typique (la médiane) décroît : c'est le cas dès que g < 0. La moyenne est tirée vers le haut par quelques trajectoires exceptionnelles.
Risquer plus ne fait pas forcément gagner plus : au-delà de la fraction de Kelly, la croissance typique diminue ; au-delà d'environ 2 × f*, elle devient négative.
Ruine : dès que le capital passe sous le seuil, la trajectoire s'arrête (état absorbant).

Précision des résultats

Les fréquences simulées sont des estimations : elles sont accompagnées d'un intervalle de confiance à 95 % (méthode de Wilson). Les valeurs « exactes » sont calculées par la loi binomiale, sans seuil de ruine ; avec un seuil, seule la simulation tient compte de l'absorption.

Limites

Les opérations réelles ne sont ni indépendantes ni de probabilité connue et stable. Ce laboratoire illustre des propriétés mathématiques ; il ne décrit aucune stratégie de trading et ne promet aucun rendement.
Générateur pseudo-aléatoire reproductible (mulberry32) : même graine, mêmes résultats.

Documentation complète : docs/jeux/04-hasard.md.

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